Question

【题目】已知椭圆 和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．
（1）当直线l的斜率为 时，求线段AB的长度；
（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线l的方程为y﹣2= （x﹣4），即为y= x，

代入椭圆方程x2+4y2=36，可得

x=±3 ，y=± ．

即有|AB|= =3

（2）解：由P的坐标，可得 + ＜1，可得P在椭圆内，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则 ，① ，②

由中点坐标公式可得x1+x2=8，y1+y2=4，③

由①﹣②可得， + =0，④

将③代入④，可得

kAB= =﹣ ，

则所求直线的方程为y﹣2=﹣ （x﹣4），

即为x+2y﹣8=0

【解析】（1）设出直线方程，代入椭圆方程，解方程可得交点坐标，由两点 的距离公式即可得到弦长；（2）运用点差法，求得直线的斜率，即可得到直线方程．