题目内容
【题目】已知函数(
为常数,
是自然对数的底数),曲线
在点
处的切线与
轴平行.
(1)求的值;
(2)求的单调区间;
【答案】(1);(2)单调递增区间为
;单调递减区间为
;(3)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据题意分析可能曲线在点
处的切线与
轴平行,等价于
,从而
;(2)由(1)可知
,只需考虑分子
的正负性即可,而
,
在
上单调递减,再由
,故当
时,
,
,
单调递增;当
时,
,
,
单调递减,∴单调递增区间为
;单调递减区间为
;(3)
,这是一指对相结合的函数,混在一起考虑其单调性比较复杂,因此考虑分开研究各自的取值情况:记
,
,
,令
,得
,
当时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减,
∴,即
.
② 记,
,
,∴
在
上单调递减,
∴,即
,综合①,②可知,
.
试题解析:(1),依题意,
为所求;
(2)由(1)可知,,记
,
,
∴在
上单调递减,又∵
,
∴当时,
,
,
单调递增;当
时,
,
,
单调递减,∴单调递增区间为
;单调递减区间为
;
(3),
① 记,
,
,令
,得
,
当时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减,
∴,即
.
② 记,
,
,∴
在
上单调递减,
∴,即
,综合①,②可知,
.
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