题目内容

①
a
∥
b
?存在唯一的实数λ，使
b
=λ
a
；
②
a
∥
b
?存在不全为零的实数λ，μ，使λ
a
+μ
b
=
0
；
③
a
与
b
不共线?若存在实数λ，μ使λ
a
+μ
b
=
0
，则λ=μ=0；
④
a
与
b
不共线?不存在实数λ，μ使λ
a
+μ
b
=
0
．下列命题是真命题的是
 
（填序号）
分析：①中，
b
 =
0
，
a
≠
0
时，不存在λ使
b
=λ
a
成立，故①为假命题；
②中若
a
∥
b
，分
b
=
0
和
b
≠
0
两种情况找λ和μ，结合两个向量平行的条件；
反之若λ
a
+μ
b
=
0
，因为λ、μ不全为0，故
b
=-
λ
μ
a
，故可得
a
∥
b
；
③可从②的逆否命题入手，④中λ=μ=0能使λ
a
+μ
b
=
0
成立．
解答：解：①中，
b
 =
0
，
a
≠
0
时，不存在λ使
b
=λ
a
成立，故①为假命题；
②中若
a
∥
b
，
b
≠
0
时，由两个向量共线定理知存在实数m，使
a
=m
b
，取λ=1，μ=-m，则λ、μ不全为0，且λ
a
+μ
b
=
0
．
b
=
0
时，取λ=0即可；反之若λ
a
+μ
b
=
0
，因为λ、μ不全为0，不妨设μ≠0，则
b
=-
λ
μ
a
，故可得
a
∥
b
．
因为原命题和它的逆否命题同真假，而②的逆否命题为③，故③为真命题．
④中λ=μ=0能使λ
a
+μ
b
=
0
成立，故为假命题．
故答案为：②③
点评：本题考查两个向量平行的充要条件，考查利用所学知识解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知下列命题：
（1）|
a
|2=
a
2；
（2）
a
•
b
a
2
=
b
a
；
（3）(
a
•
b
)2=
a
2•
b
2；
（4）(
a
-
b
)2=
a
2-2
a
•
b
+
b
2；
（5）
a
∥
b
?存在唯一的实数λ∈R，使得
b
=λ
a
；
（6）
e
为单位向量，且
a
∥
e
，则
a
=±|
a
|•
e
；
（7）|
a
•
a
•
a
|=|
a
|3；
（8）
a
与
b
共线，
b
与
c
共线，则
a
与
c
共线；
（9）若
a
•
b
=
b
•
c
且
b
≠
0
，则
a
=
c
；
（10）若
OA
=
a
，
OB
=
b
，
a
与
b
不共线，则∠AOB平分线上的向量
OM
为λ(
a
|
a
|
+
b
|
b
|
)，λ由
OM
确定．/
其中正确命题的序号
 
．
下列命题中：
①
a
∥
b
?存在唯一的实数λ∈R，使得
b
=λ
a
；
②
e
为单位向量，且
a
∥
e
，则
a
=±|
a
|•
e
；
③|
a
•
a
•
a
|=|
a
|3；
④
a
与
b
共线，
b
与
c
共线，则
a
与
c
共线；
⑤若
a
•
b
=
b
•
c
且
b
≠
0
，则
a
=
c

其中正确命题的序号是（　　）
下列命题中：
①
a
∥
b
?存在唯一的实数λ∈R，使得
b
=λ
a
；
②
e
为单位向量，且
a
∥
e
，则
a
=±|
a
|
e
；
③|
a
•
a
•
a
|=|
a
|3；④
a
与
b
共线，
b
与
c
共线，则
a
与
c
共线；
⑤若
a
•
b
=
b
•
c
且
b
≠
0
，则
a
=
c
．
其中正确命题的序号是
②③
②③
．
关于向量a、b，下列命题正确的是(    )

A.a-b=a+(-b)                          B.a-a=0

C.|a-b|＞|a|-|b|                        D.a∥b存在唯一的λ∈R,使b=λa

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