Question

13．下列四个命题中正确的有①②③④．（填所有正确命题的序号）
①函数y=x与y=sinx的图象恰有一个公共点；
②函数y=lnx与y=sinx的图象恰有一个公共点；
③函数y=$\frac{1}{x}$与y=sinx的图象有无数个公共点；
④函数y=e^x与y=sinx的图象有无数个公共点．

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性以及交点个数判断①的正误；
通过函数的图象判断②的正误即可．利用函数的值域判断③④的正误；

解答 解：函数y=x与y=sinx都是奇函数，当x∈（0，+∞）时，x＞sinx，x=0时，x=sinx，函数y=x与y=sinx的图象恰有一个公共点，①正确；
函数y=lnx与y=sinx的图象恰有一个公共点，如图：②，②正确；
函数y=$\frac{1}{x}$与y=sinx的图象有无数个公共点，当x→+∞时，y=$\frac{1}{x}$→0，所以③正确；
函数y=e^x与y=sinx的图象有无数个公共点．当x→-∞时，y=e^x→0，所以④正确；
故答案为：①②③④．

点评 本题考查函数的零点与方程的根的关系，命题的真假的判断，函数的图象与性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．