题目内容

1．已知{an}是各项为正数的等比数列，Sn为前n项和，满足$\frac{2}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{{a}_{5}}$，a3•S3=$\frac{7}{64}$．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）设数列{an}的前n项积为Tn，求所有的正整数k，使得对任意的n∈N*，不等式Sn+k+$\frac{{T}_{n}}{4}$＜1恒成立．

分析 （Ⅰ）根据等比数列的通项公式以及前n项和公式，建立方程关系即可求an；
（Ⅱ）数列{an}的前n项积为Tn，和数列{an}的前n项和为Sn，解不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{an}的首项为a1，a1＞0，公比为q，（q＞0），
则由条件得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}•\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=\frac{7}{64}}\\{\frac{2}{{a}_{1}{q}^{2}}+\frac{1}{{a}_{1}{q}^{3}}=\frac{1}{{a}_{1}{q}^{4}}}\end{array}\right.$，--------------（4分）
解得a1=q=$\frac{1}{2}$，则an=$\frac{1}{{2}^{n}}$--------------（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
 又Tn=$（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n+1）}{2}}$--------------（10分）
若存在正整数k，使得不等式Sn+k+$\frac{{T}_{n}}{4}$＜1恒对任意的n∈N*都成立，
则1-$\frac{1}{{2}^{n+k}}$+（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{n（n+1）}{2}+2}$＜1，
即k＜$\frac{n（n-1）}{2}$+2，正整数k只有取k=1--------（15分）

点评 本题主要考查等比数列求和以及通项公式的应用，根据条件建立方程关系求出数列的通项公式以及前n项和是解决本题的关键．

练习册系列答案
相关题目
11．直线l1：x+2my-1=0与l2：（3m-1）x-my-1=0平行，则实数m的值为（　　）
A．0B．$\frac{1}{6}$C．0或$\frac{1}{6}$D．0或$\frac{1}{4}$
12．已知$\frac{3π}{4}$＜α＜π，tanα+$\frac{1}{tanα}$=-$\frac{10}{3}$．
（1）求tanα的值；
（2）求$\frac{si{n}^{2}（π+α）+2sinαsin（\frac{π}{2}+α）+1}{3sinαcos（\frac{π}{2}-α）-2cosαcos（π-α）}$的值．
9．已知a∈R，b∈R，则“a＞b”是“$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$”成立的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
16．若实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≤3}\\{3x+7y-24≤0}\\{x+3y-8≥0}\end{array}\right.$，则z=x+2y的最大值是（　　）
A．6B．7C．8D．9
6．函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{{x}^{2}-x-2}}$的单调递增区间为（　　）
A．（-∞，-1]B．[2，+∞）C．（-∞，$\frac{1}{2}$）D．（$\frac{1}{2}$，+∞）
13．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，对x∈R都有f（2+x）=-f（2-x），则f（2016）=（　　）
A．2B．-2C．4D．0
10．设球的半径为R．则以它为外接球的正方体的边长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，以它为内切球的正方体的边长为2R．
11．求使下列函数取得最大值的自变量x的集合．并写出最大值是什么；同时指出函数图象的对称轴和对称中心．
 （1）y=cos$\frac{x}{3}$；
（2）y=2-sin2x．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网