Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{•2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，x＞0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，1）
• C． （-∞，0）∪（0，1）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 利用换元法设t=f（x），则方程等价为f（t）=0，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得出此题的关键是a•2^x取不到1和0．

解答 解：设t=f（x），则f（t）=0，
若a＜0时，当x≤0，f（x）=a•2^x＜0．
由f（t）=0，即$lo{g}_{\frac{1}{2}}t$=0，此时t=1，
当t=1得f（x）=1，此时x=$\frac{1}{2}$有唯一解，此时满足条件．
若a=0，此时当x≤0，f（x）=a•2^x=0，此时函数有无穷多个点，不满足条件．
若a＞0，当x≤0，f（x）=a•2^x∈（0，a]．
此时f（x）的最大值为a，
要使若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，
则a＜1，此时0＜a＜1，
综上实数a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）
故选：C．

点评 本题主要考查函数方程根的个数的应用，利用换元法，结合数形结合是解决本题的关键．