题目内容

【题目】已知函数.

(1)当时,求证:对时,

(2)当时,讨论函数零点的个数.

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】试题分析:(1)函数求导,再求导得恒成立又因为恒成立

(2)由(1)可知,当x≤0时,f″(x)≤0,可得 对x∈R,f′(x)≥0,即ex≥x+1,分类讨论当x≥-1时,当x<-1时,函数y=f(x)的零点个数即可得解;

当x<-1时,再分0≤m≤1和m<0两种情况进行讨论,由函数零点定理进行判断即可得到答案.

试题解析:,所以

(1)当时, ,则,令,则,当时, ,即,所以函数上为增函数,即当时, ,所以当时, 恒成立,所以函数上为增函数,又因为,所以当时,对恒成立.

(2)由(1)知,当时, ,所以,所以函数的减区间为,增函数为.所以,所以对 ,即.

①当时, ,又 ,即,所以当时,函数为增函数,又,所以当 时, ,当时, ,所以函数在区间上有且仅有一个零点,且为.

②当时,(ⅰ)当时, ,所以,所以函数上递增,所以,且,故时,函数在区间上无零点.

(ⅱ)当时, ,令,则,所以函数上单调递增, ,当时, ,又曲线在区间上不间断,所以,使,故当时, ,当时, ,所以函数的减区间为,增区间为,又,所以对,又当时, ,又,曲线在区间上不间断.所以,且唯一实数,使得,综上,当时,函数有且仅有一个零点;当时,函数有个两零点.

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