题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求证:对
时,
;
(2)当时,讨论函数
零点的个数.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)函数求导,再求导得
恒成立,又因为
恒成立;
(2)由(1)可知,当x≤0时,f″(x)≤0,可得 对x∈R,f′(x)≥0,即ex≥x+1,分类讨论当x≥-1时,当x<-1时,函数y=f(x)的零点个数即可得解;
当x<-1时,再分0≤m≤1和m<0两种情况进行讨论,由函数零点定理进行判断即可得到答案.
试题解析:,所以
(1)当时,
,则
,令
,则
,当
时,
,即
,所以函数
在
上为增函数,即当
时,
,所以当
时,
恒成立,所以函数
在
上为增函数,又因为
,所以当
时,对
恒成立.
(2)由(1)知,当时,
,所以
,所以函数
的减区间为
,增函数为
.所以
,所以对
,
,即
.
①当时,
,又
,
,即
,所以当
时,函数
为增函数,又
,所以当
时,
,当
时,
,所以函数
在区间
上有且仅有一个零点,且为
.
②当时,(ⅰ)当
时,
,所以
,所以函数
在
上递增,所以
,且
,故
时,函数
在区间
上无零点.
(ⅱ)当时,
,令
,则
,所以函数
在
上单调递增,
,当
时,
,又曲线
在区间
上不间断,所以
,使
,故当
时,
,当
时,
,所以函数
的减区间为
,增区间为
,又
,所以对
,又当
时,
,又
,曲线
在区间
上不间断.所以
,且唯一实数
,使得
,综上,当
时,函数
有且仅有一个零点;当
时,函数
有个两零点.

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