题目内容
已知双曲线的两个焦点为,实半轴长与虚半轴长的乘积为.直线过点且与线段的夹角为且,与线段垂直平分线的交点为,线段与双曲线的交点为,且,求双曲线方程.
或
从双曲线的对称性知,我们可以取以所在直线为轴,过中点且垂直于的直线为轴建立直角坐标系如图所示,
设双曲线方程为,用待定系数法求之值,又设,.
从题设知道直线方程为,
即,在方程中令,得点坐标.,
由定比分点坐标公式可得点坐标为.
点在双曲线上,. ①
又, ② 从题设有, ③
从式①,②消去,化简整理得.
解此方程得,或(舍去).
,,. ④
由③,④得,.
故所求双曲线方程为,从对称性知,双曲线也适合.
设双曲线方程为,用待定系数法求之值,又设,.
从题设知道直线方程为,
即,在方程中令,得点坐标.,
由定比分点坐标公式可得点坐标为.
点在双曲线上,. ①
又, ② 从题设有, ③
从式①,②消去,化简整理得.
解此方程得,或(舍去).
,,. ④
由③,④得,.
故所求双曲线方程为,从对称性知,双曲线也适合.
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