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已知双曲线的两个焦点为,实半轴长与虚半轴长的乘积为.直线点且与线段的夹角为与线段垂直平分线的交点为,线段与双曲线的交点为,且,求双曲线方程.
从双曲线的对称性知,我们可以取以所在直线为轴,过中点且垂直于的直线为轴建立直角坐标系如图所示,
设双曲线方程为,用待定系数法求之值,又设
从题设知道直线方程为
,在方程中令,得点坐标
由定比分点坐标公式可得点坐标为
在双曲线上,.      ①
,        ②   从题设有,    ③
从式①,②消去,化简整理得
解此方程得,或(舍去).
.       ④
由③,④得
故所求双曲线方程为,从对称性知,双曲线也适合.
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