Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ），-$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{π}{2}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求θ；
（2）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最大值及此时θ的值．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直可得sinθ+cosθ=0，可得tanθ=-1，结合角的范围可得；
（2）由向量的坐标运算和模长公式可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（1+sinθ）^{2}+（1+cosθ）^{2}}$=$\sqrt{3+2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$，由三角函数的最值可得．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ），
∴当$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$时，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinθ+cosθ=0．
∴tanθ=-1，由-$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{π}{2}$可得θ=-$\frac{π}{4}$；
（2）由$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ）可得
$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（sinθ+1，1+cosθ），
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（1+sinθ）^{2}+（1+cosθ）^{2}}$
=$\sqrt{3+2（sinθ+cosθ）}$
=$\sqrt{3+2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$，
当sin（θ+$\frac{π}{4}$）=1即θ=$\frac{π}{4}$时，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的取得最大值$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查平面向量的数量积和垂直关系，涉及三角函数的最值，属中档题．