Question

5．过点M（-2，0）的直线l与抛物线y²=4x交于不同的两点A和B
（1）求直线l斜率的范围
（2）是否存在这样的直线l，使$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}$，若存在，求出l的方程；反之，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线l的方程为y=k（x+2），代入y²=4x得k²x²+（4k²-4）x+4k²=0，利用△＞0，求直线l斜率的范围
（2）由题意，A为MB的中点，利用韦达定理，即可求出l的方程．

解答 解：（1）设直线l的方程为y=k（x+2），代入y²=4x可得k²x²+（4k²-4）x+4k²=0，
∴△=（4k²-4）²-16k⁴＞0，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由题意，A为MB的中点，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则2x₁=-2+x₂，2y₁=y₂，
∵x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$-4，x₁x₂=4，
∴3x₁+2=$\frac{4}{{k}^{2}}$-4，x₁（2x₁+2）=4，
∴k=±$\frac{2}{3}$，
∴直线l的方程为y=±$\frac{2}{3}$（x+2）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．