Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．
（1）求证：PA⊥EF；
（2）求二面角D-FG-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，求出各顶点的坐标及直线与PA与EF的方向向量，然后代入向量数量积公式，易得两个向量的数量积为0，故PA⊥EF；
（2）在（1）中所示的坐标系中，我们求也平面DFG和平面EFG的法向量，然后代入二面角的向量法夹角公式中，即可得到二面角D-FG-E的余弦值．

解答：证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则F（0，0.1），E（0，1，1），P（0，0，2），A（2，0，0），
∴

PA

=(2，0，-2). 

EF

=(0，-1，0)、
∵

PA

•

EF

=(2，0，-2)•(0，-1，0)=0，
∴PA⊥EF
解：（2）D（0，0，0），F（0，0，1），G（1，2，0），

DF

=(0，0，1) ，

EF

=(0，-1，0)， 

FG

\(1，2，-1)=（1，2，-1）
设平面DFG的法向量为

m

=（x₁，y₁，z₁），
∵

m • DF =0 m • FG =0

∴

z1 =0 x1+2y1-z1=0

令y₁=1，得

m

=（-2，1，0）是平面DFG的一个法向量、
设平面EFG的法向量为

n

=（x₂，y₂，z₂），
∴

n • EF =0 n • FG =0

∴

-y2 =0 x2+2y2-z2=0

，令z₂=1，得

n

=（1，0，1）是平面EFG的一个法向量、
∵cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m|•| n |

=

-2

5 • 2

=

-2

10

=-

10

5

设二面角D-EG-E的平面角为θ，
则θ=＜

m

，

n

＞、
所以二面角D-FG-G的余弦值为-

10

5

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及二面角的平面角及求法，空间向量法解决夹角问题的其步骤是：建立空间直角坐标系?明确相关点的坐标?明确相关向量的坐标?通过空间向量的坐标运算求解．