题目内容

已知函数f(x)=-
1
x
-1
(1)画出函数f(x)的大致图象,并写出函数的定义域,值域.
(2)用定义证明函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数.
(1)f(x)=-
1
x
-1的图象可由y=-
1
x
的图象,向下平移一个单位得到,
故可知作函数的大致图象如图:

故可得函数的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠-1};
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=-
1
x1
-1
-(-
1
x2
-1

=
1
x2
-
1
x1
=
x1-x2
x1x2

∵x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2
∴x1-x2<0,x1•x2>0,
x1-x2
x1x2
<0,即f(x1)-f(x2)<0,
故f(x1)<f(x2),即函数f(x)单调递增,
∴f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数.
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