Question

【题目】定义区间(a,b)，[a,b)，(a,b]，[a,b]的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,(1,2) [3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3. 用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中.设， ，当时,不等式解集区间的长度为，则的值为_______．

Answer 1

【答案】7

【解析】f(x)=[x]{x}=[x](x[x])=[x]x[x]2,g(x)=x1，

f(x)<g(x)[x]x[x]2<x1即([x]1)x<[x]21，

当x∈[0,1)时,[x]=0，上式可化为x>1，

∴x∈；

当x∈[1,2)时,[x]=1，上式可化为0>0，

∴x∈；

当x∈[2,3)时,[x]=2,[x]1>0,上式可化为x<[x]+1=3，

∴当x∈[0,3)时,不等式f(x)<g(x)解集区间的长度为d=32=1；

同理可得,当x∈[3,4)时,不等式f(x)<g(x)解集区间的长度为d=42=2；

∵不等式f(x)<g(x)解集区间的长度为5，

∴k2=5，

∴k=7.

故答案为：7.