题目内容

(本小题满分14分)如图,已知直线OP1OP2为双曲线E:的渐近线,△P1OP2的面积为,在双曲线E上存在点P为线段P1P2的一个三等分点,且双曲线E的离心率为.

(1)若P1P2点的横坐标分别为x1x,则x1x2之间满足怎样的关系?并证明你的结论;
(2)求双曲线E的方程;
(3)设双曲线E上的动点,两焦点,若为钝角,求点横坐标的取值范围.
(1)∴x1·x2;(2)=1;(3)-,-2)∪(2,)

试题分析:(1)设双曲线方程为=1,由已知得
    ∴  ∴渐近线方程为y=±x   …………2分
P1(x1x1P2(x,-x2)
设渐近线yx的倾斜角为θ,则tanθ ∴sin2θ
|OP1||OP2|sin2θ·
x1·x2                                              …………5分
(2)不妨设P所成的比为λ=2,P(xy), 则
x y   
x1+2x2=3x x1-2x2=2y                                    …………7分
∴(3x)2-(2y)2=8x1x2=36  
=1 即为双曲线E的方程                                …………9分
(3)由(2)知C,∴F1(-,0) F2(,0) 设M(x0y0)
yx-9,=(--x0,-y0=(x0,-y0)
·x-13+yx-22                     …………12分
若∠F1MF2为钝角,则x-22<0
∴|x0|< 又|x0|>2
x0的范围为(-,-2)∪(2,)            ……14分
点评:本题主要考查双曲线的标准方程和性质、数量积的应用等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法
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