题目内容
(本小题满分14分)如图,已知直线OP1,OP2为双曲线E:的渐近线,△P1OP2的面积为,在双曲线E上存在点P为线段P1P2的一个三等分点,且双曲线E的离心率为.
(1)若P1、P2点的横坐标分别为x1、x2,则x1、x2之间满足怎样的关系?并证明你的结论;
(2)求双曲线E的方程;
(3)设双曲线E上的动点,两焦点,若为钝角,求点横坐标的取值范围.
(1)若P1、P2点的横坐标分别为x1、x2,则x1、x2之间满足怎样的关系?并证明你的结论;
(2)求双曲线E的方程;
(3)设双曲线E上的动点,两焦点,若为钝角,求点横坐标的取值范围.
(1)∴x1·x2=;(2)-=1;(3)-,-2)∪(2,)
试题分析:(1)设双曲线方程为-=1,由已知得=
∴= ∴渐近线方程为y=±x …………2分
则P1(x1,x1) P2(x2,-x2)
设渐近线y=x的倾斜角为θ,则tanθ= ∴sin2θ==
∴=|OP1||OP2|sin2θ=·
∴x1·x2= …………5分
(2)不妨设P分所成的比为λ=2,P(x,y), 则
x= y==
∴x1+2x2=3x x1-2x2=2y …………7分
∴(3x)2-(2y)2=8x1x2=36
∴-=1 即为双曲线E的方程 …………9分
(3)由(2)知C=,∴F1(-,0) F2(,0) 设M(x0,y0)
则y=x-9,=(--x0,-y0) =(-x0,-y0)
∴·=x-13+y=x-22 …………12分
若∠F1MF2为钝角,则x-22<0
∴|x0|< 又|x0|>2
∴x0的范围为(-,-2)∪(2,) ……14分
点评:本题主要考查双曲线的标准方程和性质、数量积的应用等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法
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