题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,讨论
的单调性;
(2)若有两个不同零点
,
,证明:
且
.
【答案】(1)分类讨论,详见解析;(2)详见解析.
【解析】
(1)求导后,令得
或
,按照
与
的大小分三种情况讨论即可得到答案;
(2)根据(1)知时,函数的极小值大于0,因此函数
不可能有2个零点,故
,
所以在
单调递减,在
单调递增,所以极小值
,可得
,再构造函数
,利用导数得到
在
上递增,从而可得
时,
,设
,则
,所以
,所以
,所以
。
(1).
因为,由
得,
或
.
i)即
时,
在
单调递减,在
单调递增,在
单调递减;
ii)即
时,
在
单调递减;
iii)即
时,
在
单调递减,在
单调递增,在
单调递减.
(2)由(1)知,时,
的极小值为
,
时,
的极小值为
,
时,
在
单调,
故时,
至多有一个零点.
当时,易知
在
单调递减,在
单调递增.
要使有两个零点,则
,即
,得
.
令,(
),则
,所以
在
时单调递增,
,
.
不妨设,则
,
,
,
.
由在
单调递减得,
,即
.
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