题目内容
【题目】已知椭圆:的左、右点分别为
点
在椭圆上,且
(1)求椭圆的方程;
(2)过点(1,0)作斜率为的直线
交椭圆
于M、N两点,若
求直线
的方程;
(3)点P、Q为椭圆上的两个动点,为坐标原点,若直线
的斜率之积为
求证:
为定值.
【答案】(1);(2)
或y=-x+1;(3)5
【解析】
(1)由点在椭圆
上,且
,列出方程组求出
,
,由此能求出椭圆的方程.
(2) 设直线l的方程为,设
,
,
,
,联立直线和椭圆的方程得到韦达定理,再利用数量积和韦达定理求出k的值,即得直线方程;
(3)设直线,联立
,求出
,同理求出
,证明
为定值.
(1)椭圆
的左右焦点分别为
,
,
点在椭圆
上,且
,
,解得
,
,
椭圆的方程为
.
(2)设直线l的方程为,
设,
,
,
,
由,得
,
所以,
又,
,
,
所以,
所以,
所以,均满足题意.
所以直线的方程为或
.
(3)设直线,
联立方程组,得
,
,
又直线,
同理,得,
,为定值.
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