Question

2．已知动点P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤2}\\{x≥0}\\{（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）（y+\sqrt{{y}^{2}+1}）≥1}\end{array}\right.$，则x²+y²+2y的最小值-$\frac{1}{2}$，此时x=$\frac{1}{2}$，y=$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 不等式组中的第三个不等式可化为x+y≥0，作出该不等式组表示的平面区域，x²+y²+2y的几何意义为可行域内的动点到定点（0，-1）距离的平方减1，由此得答案．

解答 解：由（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$）≥1，
∵y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$＞y+$\sqrt{{y}^{2}}$=y+|y|≥0，
∴x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$≥$\frac{1}{\sqrt{{y}^{2}+1}+y}=\sqrt{{y}^{2}+1}-y=\sqrt{（-y）^{2}+1}+（-y）$，
∵函数f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$是增函数，
∴x≥-y，即x+y≥0．
∴原不等式组化为$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤2}\\{x≥0}\\{x+y≥0}\end{array}\right.$．
该不等式组表示的平面区域如下图：

∵x²+y²+2y=${\sqrt{{x}^{2}+（y+1）^{2}}}^{2}-1$．
由点到直线的距离公式可得，P（0，-1）到直线x+y=0的距离为d=$\frac{|-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则x²+y²+2y的最小值为$\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$．
故答案为：$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查不等式组表示的平面区域的概念，关键是把原不等式组转化，考查数形结合的解题思想方法，属于有一定难度问题．