题目内容

17．已知x≥$\frac{5}{2}$，则f（x）=$\frac{{x}^{2}-4x+5}{2x-4}$有最小值1．

分析 由题意可得t=2x-4≥1，可得x=$\frac{t+4}{2}$，换元可得y=$\frac{t}{4}$+$\frac{1}{t}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵x≥$\frac{5}{2}$，∴t=2x-4≥1，∴x=$\frac{t+4}{2}$，
∴换元可得y=$\frac{（\frac{t+4}{2}）^{2}-4×\frac{t+4}{2}+5}{t}$
=$\frac{{t}^{2}+4}{4t}$=$\frac{t}{4}$+$\frac{1}{t}$≥2$\sqrt{\frac{t}{4}•\frac{1}{t}}$=1，
当且仅当$\frac{t}{4}$=$\frac{1}{t}$即t=2即x=3时取等号．
故答案为：1．

点评 本题考查基本不等式求最值，换元并转化为可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．

练习册系列答案
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（2）设F（x）=tx2+8x-f（x）．
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A．[0，1]B．[-1，1]C．[0，2]D．[$\frac{1}{3}$，3]
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