Question

9．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx+2$\sqrt{3}$sinx，1），$\overrightarrow{n}$=（y，cosx），且$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若f（$\frac{B}{2}$）=3，且b=2，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算及三角函数中的恒等变换应用可得函数解析式为：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由f（$\frac{B}{2}$）=3可得sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，结合B范围可求B，由已知及余弦定理可求ac的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，可得2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-y=0，
即有：y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．…6分
（Ⅱ）∵f（$\frac{B}{2}$）=3，
∴2sin（B+$\frac{π}{6}$）+1=3，即sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，
又∵0＜B＜π，∴可求B=$\frac{π}{3}$，
∵b=2，a+c=4，
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，可得：4=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=16-3ac，解得：ac=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$…12分

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．