Question

13．已知sinα=asinβ，bcosα=acosβ，且a、β为锐角，求证：cosα=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-1}{{b}^{2}-1}}$．

Answer 1

分析 利用三角函数的平方关系式，消去β，然后化简求解即可．

解答 证明：sinα=asinβ，bcosα=acosβ，且a、β为锐角，
可得sin²α=a²sin²β，b²cos²α=a²cos²β，
两式相加可得：sin²α+b²cos²α=a²．
即sin²α-sin²α-cos²α+b²cos²α=a²-1．
即（b²-1）cos²α=a²-1．
可得cosα=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-1}{{b}^{2}-1}}$．

点评 本题考查三角函数的化简，恒等式的证明，考查计算能力．