Question

19．某电影院第一排共有9个座位，现有3名观众前来就座，若他们每两个人都不能相邻且要求每人左右至多只有两个空位，那么不同的坐法种数共有（　　）

• A． 18
• B． 48
• C． 42
• D． 56

Answer 1

分析 根据题意，先排好6个空座位，分析可得，有1种情况，再将3人全排列后，插插入空档中，有4种插法，进而由分步计数原理计算可得答案

解答 解：先考虑3名观众已经就座，3名观众内是全排列，即${A}_{3}^{3}$=6种，再考虑剩余的6个空位怎么排放，根据要求可把这6分空位2，2，2和1，1，2，2两种情况，
分类讨论：第一类，分成2，2，2，
3名观众形成4个插空，而中间两个插空必须占，故只有两种情况，此时共有2${A}_{3}^{3}$=12种，
第二类分成1，1，2，2，则4个插空都必须占，可先选两个插入一个空位，剩余两个自然放2个空位，故有${C}_{4}^{2}$=6种插空法，由分步乘法原理可得这类情况有${C}_{4}^{2}•{A}_{3}^{3}$=36种，
故共有12+36=48
故选：B

点评 本题考查排列、组合的运用，需要注意题意中三个人有顺序要求，需要对其求全排列，属于中档题