题目内容
【题目】如图所示的空间几何体
中，四边形
是边长为2的正方形， 
平面
， 
， 
， 
， 
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
【解析】试题分析：（I）连接
交
于点
，根据正方形的对角线有
，设
的中点分别为
，连接
，得
，连接
，利用平行证得
，而
，所以
平面
，所以平面
平面
.（2）以
为坐标原点建立空间直角坐标系，计算平面
与平面
的法向量，并由此计算二面角的余弦值.
试题解析：
（1）证明：连接
交
于点
，则
设
， 
的中点分别为
， 
，连接
，则
∥
，
连接
， 
，则
∥
且
，所以
∥
，所以
∥
由于
平面
，所以 
所以
， 
，所以
平面
所以平面
平面
（2）解法一：∵
∥
，∴
∥
∴平面
与平面
所成的锐二面角即为平面
与平面
所成的锐二面角
连接
，∵
平面
， 
∴
∴
为平面
与平面
所成二面角的一个平面角
∵
， 
∴
∴
即平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
解法二：建立如图所示空间直角坐标系
，
则
， 
依题意
为平面
的一个法向量，
设
为平面
的一个法向量，则
即
令
，
则
，所以
设平面
与平面
所成的锐二面角为
，则
即平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
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