题目内容
【题目】如图，正三棱柱
的所有棱长均为2，点
、
分别在棱
、
上移动，且
，
.
（1）若
，求异面直线
与
所成角的余弦值；
（2）若二面角
的大小为
，且
，求
的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）推导出
平面
，
，
，建立分别以
、
、
为
，
，
轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线
与
所成角．
（2
）推导出平面
的法向量和平面
的一个法向量，由二面角
的余弦值，能求出
的值．
在正三棱柱
中，取
中点
，取
中点
，连、，则
，
，又正三棱柱中，平面，、
平面，所以，，所以
，
.
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
（1）若
，
，
，
，
故异面直线与所成角的余弦值为.
（2）由（1）可得
，
设平面的一个法向量
，则
，取
得：
，
取平面的一个法向量
，
由二面角的大小为
，且
，得
，
化简得
，所以.
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