题目内容
【题目】如图,正三棱柱的所有棱长均为2,点
、
分别在棱
、
上移动,且
,
.
(1)若,求异面直线
与
所成角的余弦值;
(2)若二面角的大小为
,且
,求
的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)推导出平面
,
,
,建立分别以
、
、
为
,
,
轴的空间直角坐标系,利用法向量能求出异面直线
与
所成角.
(2
)推导出平面的法向量和平面
的一个法向量,由二面角
的余弦值,能求出
的值.
在正三棱柱中,取
中点
,取
中点
,连
、
,则
,
,又正三棱柱
中,
平面
,
、
平面
,所以
,
,所以
,
.
以为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立如图所示空间直角坐标系
,则
,
,
,
,
,
,
,
,
(1)若,
,
,
,
故异面直线与
所成角的余弦值为
.
(2)由(1)可得,
设平面的一个法向量
,则
,取
得:
,
取平面的一个法向量
,
由二面角的大小为
,且
,得
,
化简得,所以
.
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