Question

13．直线y=kx+$\sqrt{2}$与椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1交于不同两点A，B，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1（其中0为坐标原点），则k=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 联立直线和椭圆方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系即可求出k的取值范围．

解答 解：由将y=kx+$\sqrt{2}$，代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
消去y得（1+3k²）x²+6$\sqrt{2}$kx+3=0．
由直线l与椭圆交于不同的两点得，
（6$\sqrt{2}$k）²-12（1+3k²）＞0，
解得k²＞$\frac{1}{3}$，
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
则x_A+x_B=-$\frac{6\sqrt{2}k}{1+3{k}^{2}}$，x_Ax_B=$\frac{3}{1+3{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1，得x_Ax_B+y_Ay_B=1，
即x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_B+（kx_A+$\sqrt{2}$）（kx_B+$\sqrt{2}$）
=（k²+1）x_Ax_B+$\sqrt{2}$k（x_A+x_B）+2
=（k²+1）•$\frac{3}{1+3{k}^{2}}$+$\sqrt{2}$k（-$\frac{6\sqrt{2}k}{1+3{k}^{2}}$）+2=$\frac{3-9{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$+2=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查直线和椭圆的位置关系，利用直线和椭圆联立转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．