Question

6．已知函数f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）求证：函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；
（2）记f^-1（x）为函数f（x）的反函数．若关于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围；
（3）若f（x+t）＞2x对于x∈[1，2]恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用单调性定义证明，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形，通过分析，与零比较，要注意变形要到位；
（2）先求得反函数f^-1（x）=log₂（2^x-1）（x＞0），构造函数，利用复合函数的单调性求得函数的值域；
（3）原不等式转化为2^x+t+1＞2^2x，x∈[1，2]恒成立，解得即可．

解答 解：（1）任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=log₂（2^x₁+1）-log₂（2^x₂+1）=log₂$\frac{{2}^{{x}_{1}}+1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$，
∵x₁＜x₂，∴0＜2^x₁+1＜2^x₂+1，
∴0＜$\frac{{2}^{{x}_{1}}+1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$＜1，log₂$\frac{{2}^{{x}_{1}}+1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
即函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增
（2）∵f^-1（x）=log₂（2^x-1）（x＞0），
∴m=f^-1（x）-f（x）=log₂（2^x-1）-log₂（2^x+1）=log₂$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=log₂（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$）
当1≤x≤2时，$\frac{2}{5}$≤$\frac{2}{{2}^{x}+1}$≤$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$≤1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$≤$\frac{3}{5}$
∴m的取值范围是[log₂$\frac{1}{3}$，log₂$\frac{3}{5}$]．
（3）∵f（x+t）＞2x对于x∈[1，2]恒成立，
∴log₂（2^x+t+1）＞2x=log₂2^2x，
∴2^x+t+1＞2^2x，x∈[1，2]恒成立
∴2^2+t+1＞2⁴，
解得t＞log₂$\frac{15}{4}$．
故t的取值范围为（log₂$\frac{15}{4}$，+∞）．

点评 本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了用单调性的定义证明函数的单调性以及构造函数研究函数的性质等问题，还考查了转化思想和构造转化函数的能力．