题目内容
【题目】如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N． 
（1）求证：SC⊥平面AMN；
（2）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．
【答案】
（1）证明：∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，
∴以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
由SA=AB，设AB=AD=AS=1，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），M（ 
，0， ），
=（ ,0, ）， 
=（﹣1，﹣1，1），
=﹣ + =0，∴ 
，
∴SC⊥⊥AM，
又SC⊥AN，且AN∩AM=A，
∴SC⊥平面AMN
（2）解：∵SA⊥底面ABCD，∴ 
是平面ABCD的一个法向量，且 =（0，0，1），
设平面ACM的法向量为 
=（x，y，z），
=（1，1，0）， =（ ,0, ），
则 
，取x=﹣1，得 =（﹣1，1，1），
cos＜ , ＞= 
= 
= 
，
由图形知二面角D﹣AC﹣M为锐二面角，
∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值为 
【解析】（1）以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明SC⊥平面AMN．（2）求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)．
