Question

（本小题满分14分）
在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱，其轴截面如图所示，设三个圆柱体积之和为。

（１） 求f(h)的表达式，并写出h的取值范围是 ；
（２） 求三个圆柱体积之和V的最大值；

Answer 1

(1)的取值范围是；⑵三个圆柱体积和的最大值为．

本试题是以半球为背景，表示圆柱体的高度的关系式，以及体积的运用，并结合导数来求解最值问题。
（1）利用球的半径和圆柱的高度得到关于r与半径的关系式，从而得到高度的表示。
（2）而圆柱体的体积就是底面积乘以高，那么三个柱体的体积可以借助于第一问中的高度表示出来，再集合导数的思想求解体积的最值。
解:(1)自下而上三个圆柱的底面半径分别为：
．      ………………………………3分
它们的高均为，所以体积和
 6分
因为，所以的取值范围是； ………………………………………7分
⑵ 由得，    ………………9分
又，所以时，；时，．11分
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以时，取最大值，的最大值为． ………13分
答：三个圆柱体积和的最大值为． …………………………………………14分