题目内容
【题目】某地方政府欲将一块如图所示的直角梯形ABCD空地改建为健身娱乐广场,已知AD∥BC,AD⊥AB,AD=2BC=2 百米,AB=3百米,广场入口P在AB上,且AP=2BP,根据规划,过点P铺设两条互相垂直的笔直小路PM、PN(小路宽度不计),点M、N分别在边AD、BC上(包含端点),△PAM区域拟建为跳舞健身广场,△PBN区域拟建为儿童乐园,其他区域铺设绿化草坪,设∠APM=θ.
(1)求绿化草坪面积的最大值;
(2)现拟将两条小路PN、PN进行不同风格的美化,小路PM的美化费用为每百米1万元,小路PN的美化费用为每百米2万元,试确定点M,N的位置,使得小路PM,PN的总美化费用最低,并求出最低费用.
【答案】
(1)解:∵AB=3,AP=2BP,∴AP=2,BP=1.
在Rt△PMA中,由 ,得AM=2tanθ,
∴ ,
∵PM⊥PN,∴∠PNB=θ,
在Rt△PNB中,由 ,得
,
所以 ,
又S梯形ABCD= (
+2
)×3=
.
∴绿化草坪面积S= ﹣2tanθ﹣
,
连结PC,PD,
则tanθ的最大值为 =
,tanθ的最小值为
,
∴ ≤tanθ
,
设tanθ=t,f(t)=2t+ ,则f′(t)=2﹣
,
∴当t∈[ ,
]时,f′(t)>0,
∴f(t)在[ ,
]上单调递增,
∴f(t)的最小值为f( )=
,
∴S的最大值为 ﹣
=
.
∴绿化草坪面积的最大值为 平方百米
(2)解:在Rt△PMA中,由 ,得
,
在Rt△PNB中,由 ,得
,
∴总美化费用为 ,由(1)可知θ∈[
,
],
令t=sinθ+cosθ= sin(θ+
),则t∈[
,
],
,
∴ ,
,
∴ 在[
,
]上单调递减,
∴当t= 时,美化费用y取得最小值4
.
∴当 ,即
时,即AM=2,BM=1时总美化费用最低为4
万元.
【解析】(1)用θ表示出AM,BN,得出草坪面积S关于tanθ的函数,利用函数单调性求出最大值;(2)用θ表示出PM,PN,得出美化费用y关于θ的函数,利用换元法求出最小值.
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