题目内容
【题目】某地方政府欲将一块如图所示的直角梯形ABCD空地改建为健身娱乐广场，已知AD∥BC，AD⊥AB，AD=2BC=2 
百米，AB=3百米，广场入口P在AB上，且AP=2BP，根据规划，过点P铺设两条互相垂直的笔直小路PM、PN（小路宽度不计），点M、N分别在边AD、BC上（包含端点），△PAM区域拟建为跳舞健身广场，△PBN区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪，设∠APM=θ． 
（1）求绿化草坪面积的最大值；
（2）现拟将两条小路PN、PN进行不同风格的美化，小路PM的美化费用为每百米1万元，小路PN的美化费用为每百米2万元，试确定点M，N的位置，使得小路PM，PN的总美化费用最低，并求出最低费用．
【答案】
（1）解：∵AB=3，AP=2BP，∴AP=2，BP=1．
在Rt△PMA中，由 
，得AM=2tanθ，
∴ 
，
∵PM⊥PN，∴∠PNB=θ，
在Rt△PNB中，由 
，得 
，
所以 
，
又S梯形ABCD= 
（ 
+2 ）×3= 
．
∴绿化草坪面积S= ﹣2tanθ﹣ 
，
连结PC，PD，
则tanθ的最大值为 
= 
，tanθ的最小值为 
，
∴ 
≤tanθ 
，
设tanθ=t，f（t）=2t+ 
，则f′（t）=2﹣ 
，
∴当t∈[ ， ]时，f′（t）＞0，
∴f（t）在[ ， ]上单调递增，
∴f（t）的最小值为f（ ）= 
，
∴S的最大值为 
﹣ = 
．
∴绿化草坪面积的最大值为 平方百米
（2）解：在Rt△PMA中，由 
，得 
，
在Rt△PNB中，由 
，得 
，
∴总美化费用为 
，由（1）可知θ∈[ 
， 
]，
令t=sinθ+cosθ= 
sin（θ+ 
），则t∈[ 
， ]， 
，
∴ 
， 
，
∴ 在[ ， ]上单调递减，
∴当t= 时，美化费用y取得最小值4 ．
∴当 
，即 
时，即AM=2，BM=1时总美化费用最低为4 万元．
【解析】（1）用θ表示出AM，BN，得出草坪面积S关于tanθ的函数，利用函数单调性求出最大值；（2）用θ表示出PM，PN，得出美化费用y关于θ的函数，利用换元法求出最小值．
