题目内容
【题目】如图,三棱柱-
的底面是边长为2的等边三角形,
底面
,点
分别是棱
,
上的点,且
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(II)若,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明过程见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题(1)取中点
,连接
,则
,进而证的
平面
,在取
的中点
,连接
,则
,从而证得
平面
,进而证的结论;
(2)以为原点,
分别为
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,求得向量
和平面
的法向量,即可利用向量的运算得到直线与平面所成角的正弦值。
试题解析:
(Ⅰ)证明:取中点
,连接
,则
,
因为底面
,所以侧面
底面
,
所以平面
.
取中点
,连接
,则
,且
,
又因为,
,所以
且
,
所以且
,所以四边形
是平行四边形,
所以,所以
平面
.又
平面
,
所以平面平面
.
(Ⅱ)以为原点,
分别为
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为
,依题意得
,
,
,
,所以
,
,
设平面的一个法向量为
,
由得
令
,得
,
设直线与平面
所成的角为
,则
,
故直线与平面
所成角的正弦值为
.
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