题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求函数在
上的最值;
(Ⅱ)若对,总有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)①当时,满足条件的
不存在;
②当即
时,
;
③当即
时,
(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)解出导函数方程的根,讨论根与给定区间关系,分类讨论函数单调区间,从而求出函数最值.
(Ⅱ)对进行等价变换构造新函数
,解决恒成立问题;分离参数
,不等式恒成立问题转化为函数最值问题,构造函数
,利用导数求
最值可解.
(Ⅰ)因为;令
得,
.
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
①当时,满足条件的
不存在;
②当即
时,
;
③当即
时,
.
(Ⅱ)因为,
等价于,令
,
因为,总有
成立,所以,
在
上单调递增.问题化为
对
恒成立.
即对
恒成立.
令,则
.由
得,
.
当时,
,
递增,当
时,
,
递减,
,故
的取值范围是:
.
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