Question

16．设函数f（x）=asin²x+bsinx+c，对x∈[0，2π]都有|f（x）|≤1．
（1）证明：|c|≤1；
（2）证明：对一切x∈[0，2π]，都有|2asinx+b|≤4．

Answer 1

分析 （1）由题意可得|f（0）|≤1，由此可得|c|≤1成立．
（2）令t=sinx，则f（x）=g（t）=a•t²+bt+c，可得g（1）=a+b+c，g（-1）=a-b+c，g（0）=c，求得a、b、c的解析式．根据题意|g（1）|≤1，g（-1）|≤1，|g（0）|≤1．根据|2asinx+b|=|2at+b|=|$\frac{3}{2}$g（1）+$\frac{1}{2}$g（-1）-2g（0）|，分类讨论证得它小于或等于4．

解答 解：（1）证明：由于函数f（x）=asin²x+bsinx+c，对x∈[0，2π]都有|f（x）|≤1．
故有|f（0）|≤1，即|c|≤1．
（2）令t=sinx，则t∈[-1，1]，∴f（x）=g（t）=a•t²+bt+c，
可得g（1）=a+b+c，g（-1）=a-b+c，g（0）=c．
求得a=$\frac{g（-1）+g（1）}{2}$-g（0），b=$\frac{g（1）-g（-1）}{2}$，c=g（0）．
根据题意|g（1）|≤1，g（-1）|≤1，|g（0）|≤1．
当a≠0时，|2asinx+b|=|2at+b|=|$\frac{3}{2}$g（1）+$\frac{1}{2}$g（-1）-2g（0）|
≤|$\frac{3}{2}$g（1）|+|$\frac{g（-1）}{2}$|+|2g（0）|≤$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$+2=4，
即|2asinx+b|≤4成立．
当a=0时，|2asinx+b|=|b|=|$\frac{1}{2}$g（1）-$\frac{1}{2}$g（-1）|≤|$\frac{1}{2}$g（1）|+|$\frac{1}{2}$g（-1）|≤1，
故此时|2asinx+b|≤4成立．
综上可得，对一切x∈[0，2π]，都有|2asinx+b|≤4成立．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．