Question

1．已知函数f（x）=2^x（2^x-2）+b（b∈R）．
（1）若f（x）有零点，求实数b的取值范围；
（2）当f（x）有零点时，讨论f（x）零点的个数，并求出f（x）的零点．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=0，可得-b=2^x（2^x-2），运用配方和指数函数的性质，可得右边函数的范围，即可得到b的范围；
（2）对b讨论，当b=1时，当0＜b＜1时，当b=0时，当b＜0时，解方程注意指数函数的值域，即可得到零点．

解答 解：（1）由f（x）=0，可得-b=2^x（2^x-2），
由于2^x（2^x-2）=（2^x-1）²-1≥-1，
则-b≥-1，即有b≤1；
（2）f（x）=0，即为（2^x-1）²=1-b，
当b=1时，f（x）有1个零点，且为0；
当0＜b＜1时，f（x）有2个零点，且为log₂（1+$\sqrt{1-b}$）和log₂（1-$\sqrt{1-b}$）；
当b=0时，f（x）有1个零点，且为1；
当b＜0时，f（x）有1个零点，且为log₂（1+$\sqrt{1-b}$）．

点评 本题考查函数的零点的求法，考查分类讨论的思想方法和运算求解能力，属于中档题和易错题．