题目内容
【题目】己知函数在处的切线方程为,函数.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的极值;
(3)设(表示,中的最小值),若在上恰有三个零点,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)极小值,无极大值.(3)
【解析】
(1)先求得函数导数,利用切点坐标和函数在时切线的斜率也即导数列方程组,解方程组求得的值,进而求得函数的解析式.(2)先求得的定义域和导函数,对分成两种情况,通过函数的单调性讨论函数的极值.(3)先根据(1)判断出有且仅有一个零点,故需在上有仅两个不等于1的零点.根据(2)判断出当时,没有三个零点;当时,通过零点存在性定理以及利用导数的工具作用,证得分别在,分别有个零点,符合题意.由此求得实数的取值范围.
解:(1)
因为在处的切线方程为
所以,
解得
所以
(2)的定义域为,
①若时,则在上恒成立,
所以在上单调递增,无极值
②若时,则当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增;
所以当时,有极小值,无极大值.
(3)因为仅有一个零点1,且恒成立,
所以在上有仅两个不等于1的零点.
①当时,由(2)知,在上单调递增,
在上至多一个零点,不合题意,舍去
②当时,,在无零点
③当时,,当且仅当等号成立,在仅一个零点
④当时,,,所以,
又图象不间断,在上单调递减
故存在,使
又
下面证明,当时,
,在上单调递增
所以,
又图象在上不间断,在上单调递增,
故存在,使
综上可知,满足题意的的范围是
【题目】某学校高三年级有学生1000名,经调查研究,其中750名同学经常参加体育锻炼(称为类同学),另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为类同学),现用分层抽样方法(按类、类分二层)从该年级的学生中共抽查100名同学.
(1)测得该年级所抽查的100名同学身高(单位:厘米) 频率分布直方图如图,按照统计学原理,根据频率分布直方图计算这100名学生身高数据的平均数和中位数(单位精确到0.01);
(2)如果以身高达到作为达标的标准,对抽取的100名学生,得到列联表:
体育锻炼与身高达标列联表
身高达标 | 身高不达标 | 合计 | |
积极参加体育锻炼 | 60 | ||
不积极参加体育锻炼 | 10 | ||
合计 | 100 |
①完成上表;
②请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系?
参考公式:.
参考数据:
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |