Question

设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，对于任意的n∈N＋，an，Sn，a成等差数列，设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝，若对任意的实数x∈(1，e](e是自然对数的底)和任意正整数n，总有Tn<r(r∈N＋)．则r的最小值为________．

 

Answer 1

2

【解析】根据题意，对于任意n∈N＋，总有an，Sn，a成等差数列，则对于n∈N*，总有2Sn＝an＋①

所以2Sn－1＝an－1＋ (n≥2)②

①－②得2an＝an＋－an－1－，即an＋an－1＝(an＋an－1)(an－an－1)因为an，an－1均为正数，所以an－an－1＝1(n≥2)，

所以数列{an}是公差为1的等差数列，又n＝1时，2S1＝a1＋a，解得a1＝1，所以an＝n，对于任意的实数x∈(1，e]，有0<ln x<1，对于任意正整数n.总有bn＝≤，所以Tn≤＝，又对任意的实数x∈(1，e]和任意正整数n，总有Tn<r(r∈N＋)，所以r的最小值为2.