Question

9．已知函数f（x）=ax+$\frac{1}{x}$+a（a∈R）．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若a=1，利用函数单调性的定义判断f（x）在（1，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为奇函数，可知f（-x）=-f（x）对任意实数恒成立，求解即可得到a的值；
（2）设x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），然后化简，判断差的符号，再根据函数单调性的定义，即可证明结论

解答 解：（1）函数f（x）=ax+$\frac{1}{x}$+a为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即-ax-$\frac{1}{x}$+a=-（ax+$\frac{1}{x}$+a），
解得：a=0，
（2）若a=1，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$+1，
设x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）=（${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}+1$）-（${x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}+1$）=（x₁-x₂）（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（1，+∞）上单调递增．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，同时考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论，要注意化简到能判断符号为止．属于中档题．