Question

10．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x-2}{x+2}$；
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，再判断奇偶性并说明理由；
（Ⅱ）试探究函数f（x）在区间（2，+∞）上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由对数式的真数大于0求解分式不等式得函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性；
（Ⅱ）利用函数单调性的定义证明真数为定义域内的增函数，然后结合复合函数的单调性可得函数f（x）在区间（2，+∞）上的单调性．

解答 （Ⅰ）由$\frac{x-2}{x+2}＞0$，得x＜-2或x＞2，
∴函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x-2}{x+2}$的定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞）；
而f（-x）+f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{-x-2}{-x+2}+lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{x-2}{x+2}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{-x-2}{2-x}•\frac{x-2}{x+2}）$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{4-{x}^{2}}{4-{x}^{2}}=lo{g}_{\frac{1}{2}}1=0$，
∴f（-x）=-f（x）．
∴函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x-2}{x+2}$为定义域上的奇函数；
（Ⅱ）函数f（x）在区间（2，+∞）上是减函数．
事实上，
令t=$\frac{x-2}{x+2}$（x＞2），
设x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
则$t（{x}_{1}）-t（{x}_{2}）=\frac{{x}_{1}-2}{{x}_{1}+2}-\frac{{x}_{2}-2}{{x}_{2}+2}$=$\frac{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}+2）-（{x}_{2}-2）（{x}_{1}+2）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$
=$\frac{4（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$．
∵x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁+2＞0，x₂+2＞0，x₁-x₂＜0，
则$\frac{4（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$＜0．
即t（x₁）＜t（x₂），则t=$\frac{x-2}{x+2}$（x＞2）为增函数，
又y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}t$为减函数，由复合函数的单调性得：
函数f（x）在区间（2，+∞）上是减函数．

点评 本题考查与对数函数有关的复合函数的单调性的求法，考查了函数奇偶性的判定方法，关键是考查学生对对基础知识的掌握情况，是基础题．