Question

18．已知{a_n}是等差数列，b_n=$（\frac{1}{2}）^{{a}_{n}}$，若b₁+b₂+b₃=$\frac{21}{8}$，b₁•b₂•b₃=$\frac{1}{8}$，求a_n．

Answer 1

分析 可判数列{b_n}是等比数列，可得b₂=$\frac{1}{2}$，设公比为q，则$\frac{1}{2q}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$q=$\frac{21}{8}$，解方程可得q，进而可得a₁和公差d，可得通项公式．

解答 解：∵{a_n}是等差数列，b_n=$（\frac{1}{2}）^{{a}_{n}}$，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$为常数，
∴数列{b_n}是等比数列，
∵b₁•b₂•b₃=$\frac{1}{8}$，∴b₂=$\frac{1}{2}$，
设公比为q，则b₁+b₂+b₃=$\frac{1}{2q}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$q=$\frac{21}{8}$，
解得q=4或q=$\frac{1}{4}$，
当q=4时，b₁=$\frac{1}{8}$，∴a₁=3，由$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$（\frac{1}{2}）^{d}$（d为公差），
可得d=-2，∴a_n=3-2（n-1）=5-2n；
当q=$\frac{1}{4}$时，b₁=2，∴a₁=-1，由$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$（\frac{1}{2}）^{d}$（d为公差），
可得d=2，∴a_n=-1+2（n-1）=2n-3
综上可得a_n=5-2n或a_n=2n-3

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．