Question

18．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$，g（x）=a-2x
（1）若函数y=f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义和性质进行求解即可．
（2）将不等式恒成立转化为求函数的最值问题即可．

解答 解：（1）任取x₁，x₂∈[2，+∞），设x₁＞x₂
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{x_1}+\frac{a}{x_1}）-（{x_2}+\frac{a}{x_2}）=（{x_1}-{x_2}）+\frac{{a（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}$
=$（{x_1}-{x_2}）•\frac{{{x_1}{x_2}-a}}{{{x_1}{x_2}}}$（4分）
∵x₁＞x₂≥2，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞4，
又∵f（x₁）＞f（x₂），即：f（x₁）-f（x₂）＞0
∴$\frac{{{x_1}{x_2}-a}}{{{x_1}{x_2}}}＞0$（6分）
所以，a≤4（8分）
（2）不等式f（x）≥g（x）就是：$x+\frac{a}{x}≥a-2x$，即：$3x+\frac{a}{x}≥a$
由于x∈[1，+∞），等价于3x²-ax+a≥0在[1，+∞）上恒成立（9分）
①当$\frac{a}{6}≤1$时，g（x）=3x²-ax+a在[1，+∞）是增函数，则g（1）≥0，
这显然成立（12分）
②当$\frac{a}{6}≥1$时，g（x）=3x²-ax+a在$[1，\;\frac{a}{6}]$是减函数，在$[\frac{a}{6}，+∞）$上增函数，
则$g（\frac{a}{6}）≥0$，解得6≤a≤12（15分）
综上，所求实数a的取值范围是a≤12（16分）

点评 本题主要考查函数单调性的应用以及不等式恒成立问题，利用转化法求出函数最值是解决本题的关键．