题目内容

在平面直角坐标系xOy中,已知点M(0,3),直线l:x+y-4=0,点N(x,y)是圆C:x2+y2-2x-1=0上的动点,MA⊥l,NB⊥l,垂足分别为A、B,则线段AB的最大值为
3
2
3
2
分析:由题意作出图象,结合题意可知当直线为m时会使得要求的距离最大,然后把问题转化为平行线AB与m间的距离公式即可求解.
解答:解:(如图)由题意可得:圆C的方程为(x-1)2+y2=2
故圆C的圆心在(0,0)半径为
2

直线MA⊥l,故直线MA的斜率为1,过点M(0,3)
故直线MA的方程为:y=x+3,
由图象可知当动点N移动到直线为m是会使得AB最大,此时m与圆相切,
故可设m的方程为:y=x+b,故圆心到直线m的距离d=
|1+b|
2
=
2

解得d=-3,或d=-1(舍去)
故AB的距离为平行线MA与m的距离,由平行线间的距离公式可得AB=
|3-(-3)|
2
=3
2

故答案为:3
2
点评:本题为距离的最值得求解,涉及直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式以及平行线间的距离,属中档题.
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