Question

在正方体ABCD-A'B'C'D'中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点。

（I）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M-BC'-B′的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK 因为点M是棱AA'的中点，点O是BD'的中点 所以 所以 由AA'⊥AK，得MO⊥AA′ 因为AK⊥BD，AK⊥BB′ 所以AK⊥平面BDD'B' 所以AK⊥BD' 所以MO⊥BD' 又因为OM与异面直线AA'和BD'都相交，故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线； （Ⅱ）取BB'的中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC'B' 过点N作NH⊥BC'于H，连结MH，则由三垂线定理得，BC′⊥MH 从而，∠MHN为二面角M-BC'-B'的平面角 设AB=1，则MN=1，NH=BNsin45°= 在Rt△MNH中，tan∠MHN= 故二面角M-BC′-B′的大小为。