Question

20．已知a+$\frac{1}{a}$=3（a＞0），下列各式中正确的个数为（　　）
①a²+a^-2=7；②a³+a^-3=18；③a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=±$\sqrt{5}$；④a$\sqrt{a}$+$\frac{1}{a\sqrt{a}}$=2$\sqrt{5}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由a+$\frac{1}{a}$=3（a＞0），可得：a²+a^-2=$（a+\frac{1}{a}）^{2}$-2；a³+a^-3=（a+a^-1）（a²+a^-2-1）；$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$=a+a^-1+2；a$\sqrt{a}$+$\frac{1}{a\sqrt{a}}$=$（a+{a}^{-1}）（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）$-（${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$），即可判断出正误．

解答 解：∵a+$\frac{1}{a}$=3（a＞0），
∴a²+a^-2=$（a+\frac{1}{a}）^{2}$-2=3²-2=7，因此①正确；
a³+a^-3=（a+a^-1）（a²+a^-2-1）=3×（7-1）=18，因此②正确；
∵$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$=a+a^-1+2=3+2=5，a＞0，解得a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，因此③不正确；
∵a$\sqrt{a}$+$\frac{1}{a\sqrt{a}}$=$（a+{a}^{-1}）（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）$-（${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$）=3$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，因此④正确．
正确的个数为3．
故选：C．

点评 本题考查了乘法公式、根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．