Question

【题目】三人独立破译同一份密码．已知三人各自破译出密码的概率分别为 ，且他们是否破译出密码互不影响． （Ⅰ）求恰有二人破译出密码的概率；
（Ⅱ）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由．

Answer 1

【答案】解：记“第i个人破译出密码”为事件A1（i=1，2，3），

依题意有 ，

且A1，A2，A3相互独立．

（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有

B=A1A2 +A1 A3+ A2A3，

且A1A2 ，A1 A3， A2A3彼此互斥

于是P（B）=P（A1A2 ）+P（A1 A3）+P（ A2A3）

=

= ．

答：恰好二人破译出密码的概率为 ．

（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D．

D= ，且 ， ， 互相独立，则有

P（D）=P（ ）P（ ）P（ ）= = ．

而P（C）=1﹣P（D）= ，

故P（C）＞P（D）．

答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大．

【解析】根据题意，记“第i个人破译出密码”为事件A1（i=1，2，3），分析可得三个事件的概率且三个事件相互独立；（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则B包括彼此互斥的A1A2 A1 A3+ A2A3，由互斥事件的概率公式与独立事件的乘法公式计算可得答案；（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D，则D= ，由独立事件的乘法公式计算可得D的概率，再由对立事件的概率公式可得C的概率，比较可得答案．