Question

20．已知函数f（x）=-（x-2m）（x+m+3）（其中m＜-1），g（x）=2^x-2．
（Ⅰ）若命题p：log₂[g（x）]≥1是假命题，求x的取值范围；
（Ⅱ）若命题q：?x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0为真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把g（x）代入log₂[g（x）]≥1，求解对数不等式和指数不等式得到x的范围，取补集得答案；
（Ⅱ）由题意知?x∈（1，+∞），g（x）＜0为假命题，则?x∈（1，+∞），f（x）＜0为真命题，然后利用三个二次结合列关于m的不等式组得答案．

解答 解：（Ⅰ）由log₂[g（x）]≥1，得log₂（2^x-2）≥1，即2^x-2≥2，解得x≥2．
若命题p：log₂[g（x）]≥1是假命题，则1＜x＜2；
（Ⅱ）∵?x∈（1，+∞），g（x）=2^x-2＞0，
∴若命题q：?x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0为真命题，则
?x∈（1，+∞），f（x）＜0，即
?x∈（1，+∞），-（x-2m）（x+m+3）＜0，也就是（x-2m）（x+m+3）＞0．
即$\left\{\begin{array}{l}{2m≥-m-3}\\{2m≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-m-3≥2m}\\{-m-3≤1}\end{array}\right.$，
解得：-4≤m＜-1．

点评 本题考查命题的真假判断，考查了不等式恒成立问题，训练了利用“三个二次”的结合求解参数的范围，属中档题．