已知等差数列{an}的前n项和为Sn.且2a5-a3=13.S4=16．(1)求数列{an}的前n项和Sn,(2)设Tn=$\sum {i=1}^{n}$(-1)iai.若对一切正整数n.不等式λTn＜[an+1+(-1)n+1an]•2n-1恒成立.求实数λ的取值范围,(3)是否存在正整数m.n.使得S2.Sm-S2.Sn-Sm成等比数列?若存在.求出所有� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a₅-a₃=13，S₄=16．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）设T_n=$\sum_{i=1}^{n}$（-1）ⁱa_i，若对一切正整数n，不等式λT_n＜[a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n]•2^n-1恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S₂，S_m-S₂，S_n-S_m成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．

分析（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的前n项和．
（2）当n为偶数时，设n=2k，k∈N^*，求出T_2k=2k，进而求出λ＜2；当n为奇数时，设n=2k-1，k∈N^*，求出T_2k-1=1-2k，进而求出λ＞-4．由此能求出λ的取值范围．
（3）假设存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S₂，S_m-S₂，S_n-S_m成等比数列，由此利用已知条件推导出等式（2n-m²+2）（2n+m²-2）=12不成立，从而得到不存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S₂，S_m-S₂，S_n-S_m成等比数列．

解答解：（1）设数列{a_n}的公差为d．
∵2a₅-a₃=13，S₄=16，
∴$\left\{\begin{array}{l}2（a1+4d）-（a1+2d）=13\\ 4a1+6d=16\end{array}$，解得a₁=1，d=2，…（2分）
∴a_n=2n-1，S_n=n²．…（4分）
（2）①当n为偶数时，设n=2k，k∈N^*，
则T_2k=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）+…+（a_2k-a_2k-1）=2k． …（5分）
代入不等式λT_n＜[a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n]•2^n-1，得λ•2k＜4^k，从而λ＜$\frac{4k}{2k}$．
设f（k）=$\frac{4k}{2k}$，则f（k+1）-f（k）=$\frac{4k+1}{2（k+1）}$-$\frac{4k}{2k}$=$\frac{4k（3k-1）}{2k（k+1）}$．
∵k∈N^*，∴f（k+1）-f（k）＞0，∴f（k）是递增的，∴f（k）_min=2，
∴λ＜2．…（7分）
②当n为奇数时，设n=2k-1，k∈N^*，
则T_2k-1=T_2k-（-1）^2ka_2k=2k-（4k-1）=1-2k．…（8分）
代入不等式λT_n＜[a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n]•2^n-1，得λ•（1-2k）＜（2k-1）4^k，
从而λ＞-4^k．
∵k∈N^*，∴-4^k的最大值为-4，所以λ＞-4．
综上，λ的取值范围为-4＜λ＜2．…（10分）
（3）假设存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S₂，S_m-S₂，S_n-S_m成等比数列，
则（S_m-S₂）²=S₂•（S_n-S_m），即（m²-4）²=4（n²-m²），
∴4n²=（m²-2）²+12，即4n²-（m²-2）²=12，…（12分）
即（2n-m²+2）（2n+m²-2）=12．…（14分）
∵n＞m＞2，∴n≥4，m≥3，∴2n+m²-2≥15．
∵2n-m²+2是整数，∴等式（2n-m²+2）（2n+m²-2）=12不成立，
故不存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S₂，S_m-S₂，S_n-S_m成等比数列． …（16分）