题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点
处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)若对于任意,都有
,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)单调递增区间是
;
的单调递减区间是
;(Ⅲ)答案见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由f(1)=0,f′(1)=1;从而写出切线方程即可;
(Ⅱ)根据导数,求出导数等于0的根,分析导数函数值在根的左右的正负变化即可得出的单调区间;
(Ⅲ)当时,“
”等价于“
”.令
,
,求导研究单调性求出
在区间
上的最大值为
,即可求出实数
的取值范围.
试题解析:
(Ⅰ)因为函数,
所以,
.
又因为,
所以曲线在点
处的切线方程为
.
(Ⅱ)函数定义域为
,
由(Ⅰ)可知, .
令解得
.
与
在区间
上的情况如下:
x | |||
↘ | 极小值 | ↗ |
所以, 的单调递增区间是
;
的单调递减区间是
.
(Ⅲ)当时,“
”等价于“
”.
令,
,
,
.
当时,
,所以
在区间
单调递减.
当时,
,所以
在区间
单调递增.
而,
所以在区间
上的最大值为
.
所以当时,对于任意
,都有
.
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