题目内容
【题目】已知公差大于0的等差数列的前n项和为
,且满足
,
.
(1)求数列的通项公式
;
(2)若,求
的表达式;
(3)若,存在非零常数
,使得数列
是等差数列,存在
,不等式
成立,求k的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)根据数列的基本量,结合下标和性质,列出方程,求得首项和公差,则问题得解;
(2)讨论的正负,分类讨论,即可求得;
(3)根据(1)中所求可得
,根据其为等差数列,求得
,将问题转化为存在性问题,即可求得
的取值范围.
(1)因为数列是等差数列,故可得
,
结合,容易得
或
,
因为,故可得
,则
,
解得,
,故
.
故.
(2)根据(1)中所求,令,解得
,
故数列的前项均为负数,从第8项开始都为正数.
当时,
;
当时,
.
综上所述:.
(3)由(1)中所求,可知,
故可得,因为存在非零常数,使得其为等差数列,
故可得,即
,
整理得,解得
,
舍去.
故.
则存在,不等式
成立
等价于存在,不等式
成立.
则只需,
根据对勾函数的单调性,且当时,
;
当时,
,
故的最小值为
.
则即可.

【题目】2018年1月22日,依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定,中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”.
下表为2014年至2018年观音文化故里某土特产企业的线下销售额(单位:万元)
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
线下销售额 | 90 | 170 | 210 | 280 | 340 |
为了解“祝福观音、永保平安”活动的支持度.某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查(每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种),其中很支持的老年市民有30人,支持的年轻市民有15人.
(1)从以上5年中任选2年,求其销售额均超过200万元的概率;
(2)请根据以上信息列出列联表,并判断能否有85%的把握认为支持程度与年龄有关.
附:,其中
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |