题目内容
(本小题满分12分)如图:已知正方体ABCD—A1B1C1D1,过BD1的平面分别交棱AA1和棱CC1于E、F两点。(1)求证:A1E=CF; (2)若E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点,求证:平面EBFD1⊥平面BB1D1。
(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 见解析
(1)由题知,平面EBFD1与平面BCC1B1交于
BF、与平面ADD1A交于ED1…………1分
又平面BCC1B1//平面ADD1A1∴D1E//BF …………2分
同理BE//D1F ………………3分∴四边形EBFD1为平行四边形
∴D1E="BF " ……4分∵A1D1==CB,D1E=BF,∠D1A1E=∠BCF=90°
∴≌Rt△CBF∴A1E="CF " ………………6分
(2)∵四边形EBFD1是平行四边形。AE=A1E,FC=FC1,
∴Rt△EAB≌Rt△FCB,
∴BE=BF,故四边形EBFD1为菱形。………………8分
连结EF、BD1、A1C1。∵四边形EBFD1为菱形,∴EF⊥BD1,
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,有B1D1⊥A1C1,B1D⊥A1A
∴B1D1⊥平面A1ACC1。 ………………10分
又EF平面A1ACC1,∴EF⊥B1D1。又B1D1∩BD1=D1,
∴EF⊥平面BB1D1。
又EF平面EBFD1,故平面EBFD1⊥平面BB1D1。 ………………12分
BF、与平面ADD1A交于ED1…………1分
又平面BCC1B1//平面ADD1A1∴D1E//BF …………2分
同理BE//D1F ………………3分∴四边形EBFD1为平行四边形
∴D1E="BF " ……4分∵A1D1==CB,D1E=BF,∠D1A1E=∠BCF=90°
∴≌Rt△CBF∴A1E="CF " ………………6分
(2)∵四边形EBFD1是平行四边形。AE=A1E,FC=FC1,
∴Rt△EAB≌Rt△FCB,
∴BE=BF,故四边形EBFD1为菱形。………………8分
连结EF、BD1、A1C1。∵四边形EBFD1为菱形,∴EF⊥BD1,
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,有B1D1⊥A1C1,B1D⊥A1A
∴B1D1⊥平面A1ACC1。 ………………10分
又EF平面A1ACC1,∴EF⊥B1D1。又B1D1∩BD1=D1,
∴EF⊥平面BB1D1。
又EF平面EBFD1,故平面EBFD1⊥平面BB1D1。 ………………12分
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