Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，离心率为

2

2

，以线段F₁ F₂为直径的圆的面积为π，设直线l过椭圆的右焦点F₂（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m，0），试求m的取值范围；
（3）求△ABF₁面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据离心率为

2

2

，以线段F₁ F₂为直径的圆的面积为π，可求得a=

2

，c=1，从而b²=1，故可求椭圆方程；
（2）设出直线l的方程代入椭圆方程，从而求出线段AB的垂直平分线方程，令y=0，可得m的函数关系式，进而可求m的取值范围；
（3）利用韦达定理，表示出S_△ABF1=

1

2

×2×|y₁-y₂|，即可求得△ABF₁面积的取值范围．

解答：解：（1）由离心率为

2

2

得：

c

a

=

2

2

①
又由线段F₁ F₂为直径的圆的面积为π得：πc²=π，c²=1       ②
由①，②解得a=

2

，c=1，∴b²=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1
（2）由题意，F₂（1，0），设l的方程为：y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程
整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为（x₀，y₀），则
x₀=

2k2

2k2+1

，y₀=k（x₀-1）=-

2k

2k2+1

∴线段AB的垂直平分线方程为y-y₀=-

1

k

（x-x₀）
令y=0，得m=x₀+ky₀=

k2

2k2+1

=

1

2+ 1 k2

由于

1

k2

＞0即2+

1

k2

＞2，
∴0＜m＜

1

2

；
（3）由（2）知，x₁+x₂=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2k2-2

2k2+1

∴|x₁-x₂|=

2 2k2+2

2k2+1

∴|y₁-y₂|=

2|k| 2k2+2

2k2+1

∴S_△ABF1=

1

2

×2×|y₁-y₂|=

2|k| 2k2+2

2k2+1

设2k²+1=t，则t＞1，∴S_△ABF1=

2

×

1- 1 t2

∵t＞1，∴0＜

1

t2

＜1，∴0＜S△ABF1＜

2

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是确定线段AB的垂直平分线方程，属于中档题．