Question

5．已知函数f（x）为二次函数，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，试求f（x）的表达式．

Answer 1

分析 利用待定系数法进行求解即可．

解答 解：设f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
∵f（0）=0，
∴c=0，
即f（x）=ax²+bx，
∵f（x+1）=f（x）+x+1，
∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1，
即ax²+2ax+a+bx+b=ax²+bx+x+1，
则2ax+a+b=x+1，
即2a=1且a+b=1，
即a=$\frac{1}{2}$，且b=$\frac{1}{2}$，
则f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，根据一元二次函数的性质，利用待定系数法是解决本题的关键．