题目内容
【题目】已知椭圆
，椭圆
经过椭圆C1的左焦点F 和上下顶点A，B.设斜率为k的直线l与椭圆C2相切，且与椭圆C1交于P，Q两点.
（1）求椭圆C2的方程；
（2）①若
，求k的值；
②求PQ弦长最大时k的值.
【答案】（1）
；（2）①
；②
.
【解析】
（1）分别求出C1的左焦点与上下顶点的坐标，可得椭圆C2的
的值，可得椭圆C2的方程；
（2）①设直线l的方程为
与椭圆C2联立，由直线
与椭圆
相切，可得
，
可得
的关系，同时直线l与椭圆C1的方程联立，
，
，由韦达定理结合
，即
，代入可得k的值；
②由①知
，可得
关于
的函数，化简利用基本不等式可得PQ弦长最大时k的值.
解：（1）由题意可知，椭圆C1的左焦点
，
上下顶点
，
，
所以椭圆C2的左顶点为，上下顶点，，
所以
，
，
所以椭圆C2的方程为.
（2）设直线l的方程为与椭圆C2：方程联立，消去y得，
，
因为直线与椭圆相切，所以
，
整理得，
，
直线l与椭圆C1的方程联立得，
，
其中
.
设，，
则
.
①因为，所以，
即
，
所以
.
②由①知
，
设
，则
.
所以当
时，PQ的长最大，最大值为.
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